微积分到底是什么？(微积分连续性是什么意思？)最近在给学生教微积分的时候，遇到了学生的各种问题：
导数不就是微分吗？怎么会有区别呢？
为什么换元求积分还是和导数有关？
求体积的方法这么多，我用哪一种？
..
其实这些问题是很多同学学习时都会有的疑问。毕竟微积分的5分容错率比较高，很大比例的问题可以通过“背”公式来解决。
基本概念的求和公式的含义可以是“不是很清楚”。但是一旦遇到复杂的问题，往往别无选择，只能选择性放弃。
为了解决上述问题，我们需要来弄明白最本质的问题，到底什么是微积分？微积分能用来做什么？
首先我们来看微积分这个词。当我们把它拆开时，它是微分积分。分化，顾名思义，就是把一个整体分割成微小的单元。积分，顾名思义就是把微小的单元累加成一个整体。
微分和积分是两个相反的过程。那么我们如何利用差异化和整合性呢？
1、举一个简单的例子
这是我家的乐高小人。他很帅，但我总觉得他的身体比例不协调(可能是脑袋太大了？)。所以我想测一下他的头和身体的比例，但是怎么测呢？
从上图可以看出，它的身体部位并不是常见的规则图形，所以无法直接测出它的头部或身体的大小。出现这种情况，就需要用差异化，通俗地说就是“拆”！
拆开后可以看到，如果忽略连接处的凸起，拆下来的每一小块都可以近似看成一个长方体，长方体的体积相信大家都很熟悉。
这时候我们就可以计算出每个长方体的体积了。最后把它们加在一起就是我们需要的每一部分的体积。这一步叫做整合。
当然这个小个子是有棱角的，我们可以把他劈成长方体。
但现实生活中的大多数物体的表面都是“圆滑”曲线，若还是把它们微分成方形，是否就失真了呢？
2、为解释以上问题，引入两个概念
概念一：像素
像素由图像的小方块组成。这些正方形有明确的位置和指定的颜色值。正方形的颜色和位置决定了图像的外观。例如，在下面的蜘蛛侠中，每个方块代表一个像素。
概念2:分辨率
通常，图像的分辨率越高，包含的像素越多，图像就越清晰。我们现在每天使用的电脑屏幕都有不同的分辨率。
目前我用来编辑文章的电脑是4K分辨率，也就是说一个屏幕有将近40962160像素。
大部分电脑的分辨率都是1440x900或者2880x1800等等。现在我们可以直接看不同分辨率的效果图，可以和上面的马赛克蜘蛛侠对比。
128*128
(轮廓流畅，细节模糊)
2048*2048
(细节完美，光影变化流畅)
从这个对比图中我们可以发现，当我们有足够多的像素，或者说把一张图片微分到足够小的时候，有多少个像素，就相当于微分了多少个单元。
这些小方块的整体和实体会非常接近。其实在128*128的图中，看不出是由小方块组成的。
随着科技的进步，分辨率会逐渐提高。如果未来可以无限细分画面，像素数量将接近无穷大。
最后，小方块的总和将与实体完全相同，因此
解决了“失真”的问题。这就是微积分里近似和极限的思想。3、从现实的例子回归到微积分题目
1.题目描述
怎么选择方法去计算一个物体的体积？我们来看下面的这个例子。这是16年AP微积分BC里的一道简答题，题目不难，需要计算这个漏斗的体积。
很多同学拿到题目就开始从脑海里检索背过的公式。但是最终不知道用哪个公式。那么正确的思路应该是什么？
2.正确的解题思路
根据前两个例子，我们第一步要想清楚如何去微分，微分的目的是把不熟悉的图形分割成熟悉可以处理的图形。
如果再分割成正方体其实也可以，但是过于复杂，我们学过的常见图形可不止立方体一种，比如在这里我们可以尝试把这个漏斗切分成小薄片。
如下图所示，微分之后我们会发现，每个小薄片都可以看做是一个小的圆柱体，圆柱也是我们非常熟悉的图形。
为了能够看清，薄片画的比较厚
圆柱的体积是πr^2h。在这里h非常小，我们记做dh，每个薄片的体积就可以表示成πr^2dh。
最后，我们只需要将h从0到10的这些小圆柱加在一起，根据我们的经验，只要分割的足够细，这个总和就会与漏斗的体积完全相同。
那么在微积分里，总体积可以表示如下：
最后一步，我们把题目中 r 和 h 的关系代入即可求得结果(此处省略计算结果)。
4、理解原理比背公式和套用公式更加重要
上面这道题是众多体积计算中比较简单的一类，还有很多其他体积计算的问题。AP微积分中需要掌握的是圆盘法，圆柱壳法，固定横截面积的体积计算等等。
除了计算体积，微积分也可以用在很多其他的地方。比如研究变速运动，函数的最值，物体的重心等，甚至有位清华的学生用微积分来研究薯片掉在地上是否还能吃。
微积分其实是两个运算，也就是微分和积分的统称，而微分和积分是逆运算。简单地说，微分就是求导数，表现出来就是函数曲线在某个点上切线的斜率，而积分把需要解决的问题无限细分，比如求面积，就用无......版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 puzdycom@126.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。
